MITOLOGÍA NATURAL

Categoría: Matemáticas

  • La respuesta a la pregunta definitiva sobre la vida, el universo y todo lo demás es…

    42 = (-80538738812075974)3 + 804357581458175153 + 126021232973356313

    THGTTG En The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy [1],  la farsa interestelar, multitemporal y pandimensional de Douglas Adams, Pensamiento Profundo, «la segunda computadora más poderosa en el universo del tiempo y el espacio», después de siete y medio millones de años de cálculos, proporciona al fin una respuesta a «la pregunta definitiva sobre la vida, el universo y todo lo demás»:

    «Cuarenta y dos»

    Pensamiento Profundo deja pendiente la tarea de encontrar la pregunta correspondiente a esta respuesta. La pregunta será hallada, explica la poderosa máquina, por una computadora aún más potente que integrará elementos orgánicos y que será llamada «la Tierra».

    Un problema cúbico

    En la Tierra del universo real, en septiembre de 2019, investigadores de la Universidad de Bristol y del Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT por sus siglas en inglés) anunciaron el descubrimiento de la solución a un añejo problema matemático que involucra el número 42. Se trata de un enigma basado en la ecuación diofántica [2]

    k igual

    en donde k es un número entero entre 1 y 100 y x, y, z  son números enteros.  El problema consiste en encontrar tres números enteros que al sumarlos elevados al cubo den como resultado un número k dado [3].  Para algunos números es fácil encontrar soluciones; por ejemplo el número 1 se puede expresar como la suma (-1)3 + 13 + 13  = 1, de manera que la solución es el conjunto (-1, 1, 1). De hecho, se puede demostrar algebraicamente que para los números uno y dos existe un número infinito de soluciones al problema.

    De igual forma, 29 = 33 + 13 + 13   y  55 = 33 + 33 + 13  =  43 + (-2)3 + (-1)3  . Por el contrario, se ha demostrado que para otros números, como el 32, no existen soluciones. A principios de los años 50 se conocían soluciones sencillas para algunos números, pero la búsqueda de combinaciones adicionales resultaba frustrante.  En 1953, Louis J. Mordell señaló que para el número tres se conocían sólo las soluciones (1, 1, 1) y (4, 4, -5), pero que seguramente debían existir muchas más. Para encontrar esas soluciones, escribió Mordell, sería necesario echar mano de una tecnología nueva para la época: las computadoras electrónicas.

    Dicho y hecho, en 1955 las calculadoras electrónicas habían permitido hallar soluciones para 69 de los números entre 1 y 100 [4]. Las soluciones para el resto de los números involucraban números muy grandes, de más de ocho dígitos y por arriba de la capacidad de cómputo de la época. A través de las décadas, con computadoras cada vez más poderosas y algoritmos más eficientes, los investigadores fueron encontrando soluciones para los números faltantes o demostrando la inexistencia de soluciones en algunos casos.

    Los últimos dos bastiones

    En 2019, restaban sólo dos números recalcitrantes: el treinta y tres y el cuarenta y dos. En marzo de ese año, Andrew R. Booker, de la Universidad de Bristol, publicó en el portal ArXiv una solución para k = 33  con tres números de dieciséis dígitos cada uno [5]. Quedaba como último trofeo de los cazadores de números el 42, la misteriosa respuesta a la pregunta fundamental del universo.

    Booker se asoció con Andrew Sutherland, un experto en cómputo del MIT para mejorar el algoritmo de búsqueda y para incorporar un poder de cómputo mucho mayor que el de cualquier computadora de Bristol (o del mundo). Sutherland es experto en cómputo en paralelo, es decir, en poner a trabajar en un mismo problema a varias computadoras que funcionan independientemente. Para resolver el problema del 42, Booker y Sutherland  lograron la integración de un sistema que conecta miles de computadoras caseras, cada una de las cuales resuelve pequeños segmentos del problema planteado. En conjunto, las computadoras conectadas de esta manera son análogas a la supercomputadora orgánica llamada «la Tierra» en la novela de Adams.

    En septiembre de 2019, Sutherland anunció en su página de internet el hallazgo de una solución que involucraba números de 17 dígitos cada uno [6]:

    42 SutherlandEncontrar esta solución había requerido la friolera de 1.3 millones de horas netas de cómputo, que en todo caso es bastante menos que los siete y medio millones de años que requirió Pensamiento Profundo para hallar una respuesta equivalente. Además, los investigadores presentaron una solución para k =3 con tres números de 21 dígitos cada uno, excediendo por mucho cualquier expectativa de Mordell en 1953 [7].

    Ya resuelto el problema para k = 42 y para el resto de los números del 1 al 100, la búsqueda se ha extendido hacia los números entre 101 y 1000. Booker y Sutherland hallaron soluciones para los números 165 y 906, y quedan solamente por resolver los casos para 114, 390, 579, 627, 633, 732, 921 y 975.

    Falta todavía mucho camino por recorrer en la teoría de números, un universo de lugares y experiencias tanto o más fascinantes que las descritas en las páginas de la guía para hitchhikers de la galaxia.

    Notas y referencias

    [1] El libro se ha traducido al español peninsular como «Guía del autoestopista galáctico», y en él, por supuesto, las supercomputadoras son superordenadores.
    [2] Una ecuación diofántica contiene expresiones polinomiales en las que sólo interesan las soluciones con números enteros.
    [3] Mordell, L. J. (1969). Diophantine equations. Pure and Applied Mathematics 30. Academic Press.
    [4] Miller, J. C. P., & Woollett, M. F. C. (1955). Solutions of the Diophantine Equation: x3+ y3+ z3= k. Journal of the London Mathematical Society, 1(1): 101-110.
    [5]     Booker, Andrew R. (2019), Cracking the problem with 33  (PDF), University of Bristol, arXiv:1903.04284
    [6]     http://math.mit.edu/~drew/. Acceso: 24 de noviembre de 2019
    [7]     Hay que recordar que un número de 17 dígitos elevado al cubo tiene al menos 3 x 17 = 51 dígitos.

     

  • Las proezas del jovencito Gauss

    Gauss

    Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) es considerado por muchos el mejor matemático de la historia, por arriba de figuras como Leibnitz, Newton, Arquímedes y Pitágoras. Su talento natural afloró desde la infancia, como se refleja en las historias narradas por sus biógrafos. Se dice, por ejemplo, que a los tres años de edad el niño Gauss corrigió un error en unos cálculos financieros que realizaba su padre.  La anécdota más famosa de Gauss, sin embargo, se refiere a sus años escolares en Braunschweig, un poblado cercano a Hanover, en la Sajonia Baja (hoy en día parte de Alemania).

    El pequeño genio de Braunschweig

    La versión original de la historia [1], contada por Wolfwang Sartorius, se desarrolla en 1784, cuando el pequeño Gauss, de apenas siete años de edad, llega a la clase del profesor G. T. Büttner. El estricto maestro ha puesto a los alumnos a resolver un problema relativo a una serie matemática. Al terminar de resolverla, cada estudiante debe colocar su pizarra boca abajo en el escritorio del profesor. El jovencito Carl demora apenas unos minutos en encontrar la solución y es el primero en entregar su trabajo. Después de casi media hora, los demás estudiantes comienzan a entregar sus cálculos. El escéptico Büttner revisa las tabletas, comenzando con la de Gauss, y con asombro constata que el pequeño Carl ha escrito solamente la respuesta, que resulta ser correcta. En el resto de las pizarras, todas llenas de sumas, se asoma en algunas la respuesta correcta y en muchas otras algún resultado diferente.

    GaussLa narración de Sartorius no especifica qué problema matemático fue el que Büttner planteó a sus pupilos. En años posteriores, numerosas variantes de la anécdota [2, 3] afirman que el reto era obtener la suma de los primeros cien números naturales (1 + 2 + 3 + … + 100). Seguramente todos los alumnos de Büttner –excepto Gauss–  resolvieron el problema llevando a cabo las noventa y nueve sumas requeridas. Antes de escribir esta nota, realicé yo mismo las sumas de los números del uno al veinte, lo que me tomó poco menos de dos minutos. Podemos calcular entonces que completar la suma hasta el 100 requeriría unos quince minutos (considerando que las sumas se vuelven cada vez más largas). ¿Cómo pudo Gauss resolver el problema en apenas unos pocos minutos?

    Un curioso patrón matemático

    Según la mayoría de las versiones de la historia, el pequeño niño de siete años encontró un patrón que facilitó su labor: si a cada número de la secuencia le sumamos el valor correspondiente de la secuencia en orden inverso, el resultado es siempre el mismo. Es decir, 1 + 100 = 101; 2 + 99 = 101; 3 + 98 = 101; … ; 100 + 1 = 101.  Como hay cien pares de números, pero la secuencia se suma dos veces, el total de la suma de los números del uno al cien debe ser igual a 50 × 101 = 5050.

    Gauss

    Hoy en día es fácil verificar en una calculadora o computadora que este resultado es correcto y que en general, para cualquier número natural n , la suma de los números desde 1 hasta n es igual a n(n+1)/2. Para los primeros veinte números la suma entonces es igual a 20 × 21 / 2 = 210, operación que podemos hacer en segundos y no en los dos minutos que yo me tardé en realizar las 19 sumas consecutivas.

    ¿Es realmente plausible la historia del pequeño estudiante de Braunschweig? Si Gauss hubiese sido cualquier niño, la anécdota parecería totalmente fantasiosa, pero si recordamos que el pequeño Carl Friedrich  creció hasta convertirse en quien probablemente ha sido el mayor genio matemático de todos los tiempos, la narración de Sartorius ya no parece tan deschavetada.

     Notas y referencias

    [1] Hayes, B. (2006). Gauss’s day of reckoning. American Scientist, 94(3), 200-205. Para este artículo, Brian Hayes revisó decenas de versiones de la historia sobre el joven Gauss. Mi versión del relato de Sartorius está basado en este artículo.

    [2] Se recomienda  la antología de Stephen Hawking, en la que se reproducen algunos trabajos de Gauss y se narra la anécdota del niño prodigio:
    Hawking, S., compilador. (2005). God Created the Integers: The Mathematical Breakthroughs That Changed History. Running Press Book Publishers. p. 563.

    [3]  La historia ha sido recreada en la novela de Daniel Kehlmann  Die Vermessung der Welt (La medición del mundo) y en la película con el mismo nombre dirigida por Detlev Buck (2012).

    Gauss midiendo

  • ¡Qué jonrón! Béisbol y «la falacia del volado»

    ¡Qué jonrón! Béisbol y «la falacia del volado»

    Imagen de Wikipedia
    Imagen de Wikipedia

    El martes 11 de agosto de 2015 parecía ser una jornada normal en el béisbol de las Grandes Ligas de los Estados Unidos. El último juego de ese día, en el que los Marineros de Seattle recibían a los Orioles de Baltimore, se fue a extra-innings y finalmente los marineros salieron victoriosos por seis carreras a cinco en diez entradas. Al revisar las estadísticas del día, los compiladores oficiales se dieron cuenta de que la victoria de los marineros locales no había sido única: en los 15 juegos del día el equipo local había ganado. Al otro día, la página oficial de las Grandes Ligas anunciaba “¡Qué jonrón! Todos los equipos locales ganan”. Según el reportaje, esa había sido la primera vez en la historia del béisbol de los Estados Unidos que se presentaba un resultado así.

    Los fanáticos de los números calcularon rápidamente que la probabilidad de que los 15 juegos de una jornada terminen con la victoria del equipo local es de una en 32768, esto suponiendo que en un juego dado los dos equipos tienen la misma probabilidad de ganar [1]. En otras palabras, tendríamos que ver, en promedio, 32768 jornadas de 15 juegos de béisbol cada una para para ser testigos de nuevo de lo que sucedió el 11 de agosto. Hoy en día, la temporada de las Grandes Ligas consta de 162 jornadas, de manera que tendríamos que ponernos cómodos en nuestros sillones y prepararnos para ver cerca de 202 años de béisbol si quisiéramos repetir la experiencia.

    Ahora bien, el cálculo anterior no toma en cuenta un factor que todo buen aficionado, y en particular todo buen apostador conoce: los equipos locales tienen siempre una ventaja sobre sus adversarios y por tanto la probabilidad de ganar un juego como local no es de una en dos, como si fuera un “volado” (así se llama en México al tiro de una moneda para tomar una decisión). Supongamos que los equipos locales ganan en promedio seis de cada diez encuentros (en lugar de los cinco por cada diez que supone el modelo del volado). En ese caso, la probabilidad de que los 15 equipos locales ganen en una jornada dada es de 1 en 2127 y podríamos esperar observar el fenómeno cada 13 años en promedio [2].  Todavía sería un patrón poco común, pero no tan extremo; un buen aficionado podría tener expectativas razonables de observar el récord varias veces a lo largo de su vida.

    El ejemplo nos muestra como un pequeño cambio en nuestra estimación de una probabilidad (la de que un local gane) puede modificar significativamente el resultado de un proceso que se repite muchas veces (el total de juegos ganados por los locales a lo largo de varios años con muchas jornadas de 15 juegos). Nos muestra también la falsedad del «modelo del volado», es decir, suponer que la probabilidad de eventos con dos posibles resultados (sí o no, falso o verdadero, niña o niño, águila o sol, ganar o perder) es siempre de 1/2.

    En algunos casos, la probabilidad en eventos binarios (con dos resultados posibles y excluyentes) es muy cercana a 1:2. Por ejemplo, un estudio reciente mostró que por cada 1000 bebés nacidos en Japón en 2012 hubo 513 varones y 487  niñas [3]. Los números son muy cercanos a 500:500 que esperaríamos si las probabilidades fueran exactamente de 1/2, pero la desviación es suficientemente grande como para requerir una explicación. En este caso la mortalidad diferencial antes del nacimiento parece ser la explicación.

    En el caso del béisbol, según datos obtenidos de una página de apuestas, en los últimos cinco años los equipos locales han ganado 537 de cada 1000 juegos, por arriba de los 500 que esperaríamos si la probabilidad fuera exactamente de ½. Si usamos este dato, que considera “la ventaja del local”, podemos ver que la probabilidad de que los 15 equipos locales ganen en una jornada beisbolística es de una en 11 230, correspondiente a unos 69 años de béisbol. Con estas cifras, el episodio del 11 de agosto sí parece ser una experiencia de una vez en la vida, aunque no tan extraordinario como las páginas deportivas quisieron hacernos creer. (Para un episodio deportivo realmente extraordinario, ver Wimbledon y la inteligencia extraterrestre, en este mismo blog).

    Es importante recordar aquí que el cálculo de probabilidades por definición se refiere a eventos con incertidumbre. El que un evento suceda en promedio una vez cada 69 años no significa que debamos esperar exactamente ese número de años desde el 11 de agosto para volver a ver a los 15 equipos ganando sus juegos en una jornada. El fenómeno podría suceder el próximo año, o podría no suceder hasta dentro de 100 años. Lo que nos ofrece el cálculo de probabilidades es una expectativa promedio, no una predicción exacta.

    Notas
    [1] Si la probabilidad de que un equipo local gane su juego es de 1/2 , la probabilidad de que los 15 equipos locales ganen en una jornada dada es de (1/2) elevado a la potencia 15, es decir, de 1 en 32768.
    [2] Si la probabilidad de que gane el local es en realidad de 0.6 (6/10), la probabilidad de 15 victorias locales es de (6/10) elevado a la potencia 15, o de 1 en 2127.
    [3] Fukuda, Misao, et al. «Climate change is associated with male: female ratios of fetal deaths and newborn infants in Japan.» Fertility and sterility 102.5 (2014): 1364-1370.