Las proezas del jovencito Gauss

Gauss

Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) es considerado por muchos el mejor matemático de la historia, por arriba de figuras como Leibnitz, Newton, Arquímedes y Pitágoras. Su talento natural afloró desde la infancia, como se refleja en las historias narradas por sus biógrafos. Se dice, por ejemplo, que a los tres años de edad el niño Gauss corrigió un error en unos cálculos financieros que realizaba su padre.  La anécdota más famosa de Gauss, sin embargo, se refiere a sus años escolares en Braunschweig, un poblado cercano a Hanover, en la Sajonia Baja (hoy en día parte de Alemania).

El pequeño genio de Braunschweig

La versión original de la historia [1], contada por Wolfwang Sartorius, se desarrolla en 1784, cuando el pequeño Gauss, de apenas siete años de edad, llega a la clase del profesor G. T. Büttner. El estricto maestro ha puesto a los alumnos a resolver un problema relativo a una serie matemática. Al terminar de resolverla, cada estudiante debe colocar su pizarra boca abajo en el escritorio del profesor. El jovencito Carl demora apenas unos minutos en encontrar la solución y es el primero en entregar su trabajo. Después de casi media hora, los demás estudiantes comienzan a entregar sus cálculos. El escéptico Büttner revisa las tabletas, comenzando con la de Gauss, y con asombro constata que el pequeño Carl ha escrito solamente la respuesta, que resulta ser correcta. En el resto de las pizarras, todas llenas de sumas, se asoma en algunas la respuesta correcta y en muchas otras algún resultado diferente.

GaussLa narración de Sartorius no especifica qué problema matemático fue el que Büttner planteó a sus pupilos. En años posteriores, numerosas variantes de la anécdota [2, 3] afirman que el reto era obtener la suma de los primeros cien números naturales (1 + 2 + 3 + … + 100). Seguramente todos los alumnos de Büttner –excepto Gauss–  resolvieron el problema llevando a cabo las noventa y nueve sumas requeridas. Antes de escribir esta nota, realicé yo mismo las sumas de los números del uno al veinte, lo que me tomó poco menos de dos minutos. Podemos calcular entonces que completar la suma hasta el 100 requeriría unos quince minutos (considerando que las sumas se vuelven cada vez más largas). ¿Cómo pudo Gauss resolver el problema en apenas unos pocos minutos?

Un curioso patrón matemático

Según la mayoría de las versiones de la historia, el pequeño niño de siete años encontró un patrón que facilitó su labor: si a cada número de la secuencia le sumamos el valor correspondiente de la secuencia en orden inverso, el resultado es siempre el mismo. Es decir, 1 + 100 = 101; 2 + 99 = 101; 3 + 98 = 101; … ; 100 + 1 = 101.  Como hay cien pares de números, pero la secuencia se suma dos veces, el total de la suma de los números del uno al cien debe ser igual a 50 × 101 = 5050.

Gauss

Hoy en día es fácil verificar en una calculadora o computadora que este resultado es correcto y que en general, para cualquier número natural n , la suma de los números desde 1 hasta n es igual a n(n+1)/2. Para los primeros veinte números la suma entonces es igual a 20 × 21 / 2 = 210, operación que podemos hacer en segundos y no en los dos minutos que yo me tardé en realizar las 19 sumas consecutivas.

¿Es realmente plausible la historia del pequeño estudiante de Braunschweig? Si Gauss hubiese sido cualquier niño, la anécdota parecería totalmente fantasiosa, pero si recordamos que el pequeño Carl Friedrich  creció hasta convertirse en quien probablemente ha sido el mayor genio matemático de todos los tiempos, la narración de Sartorius ya no parece tan deschavetada.

 Notas y referencias

[1] Hayes, B. (2006). Gauss’s day of reckoning. American Scientist94(3), 200-205. Para este artículo, Brian Hayes revisó decenas de versiones de la historia sobre el joven Gauss. Mi versión del relato de Sartorius está basado en este artículo.

[2] Se recomienda  la antología de Stephen Hawking, en la que se reproducen algunos trabajos de Gauss y se narra la anécdota del niño prodigio:
Hawking, S., compilador. (2005). God Created the Integers: The Mathematical Breakthroughs That Changed History. Running Press Book Publishers. p. 563.

[3]  La historia ha sido recreada en la novela de Daniel Kehlmann  Die Vermessung der Welt (La medición del mundo) y en la película con el mismo nombre dirigida por Detlev Buck (2012).

Gauss midiendo

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