¡Qué jonrón! Béisbol y “la falacia del volado”

Imagen de Wikipedia
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El martes 11 de agosto de 2015 parecía ser una jornada normal en el béisbol de las Grandes Ligas de los Estados Unidos. El último juego de ese día, en el que los Marineros de Seattle recibían a los Orioles de Baltimore, se fue a extra-innings y finalmente los marineros salieron victoriosos por seis carreras a cinco en diez entradas. Al revisar las estadísticas del día, los compiladores oficiales se dieron cuenta de que la victoria de los marineros locales no había sido única: en los 15 juegos del día el equipo local había ganado. Al otro día, la página oficial de las Grandes Ligas anunciaba “¡Qué jonrón! Todos los equipos locales ganan”. Según el reportaje, esa había sido la primera vez en la historia del béisbol de los Estados Unidos que se presentaba un resultado así.

Los fanáticos de los números calcularon rápidamente que la probabilidad de que los 15 juegos de una jornada terminen con la victoria del equipo local es de una en 32768, esto suponiendo que en un juego dado los dos equipos tienen la misma probabilidad de ganar [1]. En otras palabras, tendríamos que ver, en promedio, 32768 jornadas de 15 juegos de béisbol cada una para para ser testigos de nuevo de lo que sucedió el 11 de agosto. Hoy en día, la temporada de las Grandes Ligas consta de 162 jornadas, de manera que tendríamos que ponernos cómodos en nuestros sillones y prepararnos para ver cerca de 202 años de béisbol si quisiéramos repetir la experiencia.

Ahora bien, el cálculo anterior no toma en cuenta un factor que todo buen aficionado, y en particular todo buen apostador conoce: los equipos locales tienen siempre una ventaja sobre sus adversarios y por tanto la probabilidad de ganar un juego como local no es de una en dos, como si fuera un “volado” (así se llama en México al tiro de una moneda para tomar una decisión). Supongamos que los equipos locales ganan en promedio seis de cada diez encuentros (en lugar de los cinco por cada diez que supone el modelo del volado). En ese caso, la probabilidad de que los 15 equipos locales ganen en una jornada dada es de 1 en 2127 y podríamos esperar observar el fenómeno cada 13 años en promedio [2].  Todavía sería un patrón poco común, pero no tan extremo; un buen aficionado podría tener expectativas razonables de observar el récord varias veces a lo largo de su vida.

El ejemplo nos muestra como un pequeño cambio en nuestra estimación de una probabilidad (la de que un local gane) puede modificar significativamente el resultado de un proceso que se repite muchas veces (el total de juegos ganados por los locales a lo largo de varios años con muchas jornadas de 15 juegos). Nos muestra también la falsedad del “modelo del volado”, es decir, suponer que la probabilidad de eventos con dos posibles resultados (sí o no, falso o verdadero, niña o niño, águila o sol, ganar o perder) es siempre de 1/2.

En algunos casos, la probabilidad en eventos binarios (con dos resultados posibles y excluyentes) es muy cercana a 1:2. Por ejemplo, un estudio reciente mostró que por cada 1000 bebés nacidos en Japón en 2012 hubo 513 varones y 487  niñas [3]. Los números son muy cercanos a 500:500 que esperaríamos si las probabilidades fueran exactamente de 1/2, pero la desviación es suficientemente grande como para requerir una explicación. En este caso la mortalidad diferencial antes del nacimiento parece ser la explicación.

En el caso del béisbol, según datos obtenidos de una página de apuestas, en los últimos cinco años los equipos locales han ganado 537 de cada 1000 juegos, por arriba de los 500 que esperaríamos si la probabilidad fuera exactamente de ½. Si usamos este dato, que considera “la ventaja del local”, podemos ver que la probabilidad de que los 15 equipos locales ganen en una jornada beisbolística es de una en 11 230, correspondiente a unos 69 años de béisbol. Con estas cifras, el episodio del 11 de agosto sí parece ser una experiencia de una vez en la vida, aunque no tan extraordinario como las páginas deportivas quisieron hacernos creer. (Para un episodio deportivo realmente extraordinario, ver Wimbledon y la inteligencia extraterrestre, en este mismo blog).

Es importante recordar aquí que el cálculo de probabilidades por definición se refiere a eventos con incertidumbre. El que un evento suceda en promedio una vez cada 69 años no significa que debamos esperar exactamente ese número de años desde el 11 de agosto para volver a ver a los 15 equipos ganando sus juegos en una jornada. El fenómeno podría suceder el próximo año, o podría no suceder hasta dentro de 100 años. Lo que nos ofrece el cálculo de probabilidades es una expectativa promedio, no una predicción exacta.

Notas
[1] Si la probabilidad de que un equipo local gane su juego es de 1/2 , la probabilidad de que los 15 equipos locales ganen en una jornada dada es de (1/2) elevado a la potencia 15, es decir, de 1 en 32768.
[2] Si la probabilidad de que gane el local es en realidad de 0.6 (6/10), la probabilidad de 15 victorias locales es de (6/10) elevado a la potencia 15, o de 1 en 2127.
[3] Fukuda, Misao, et al. “Climate change is associated with male: female ratios of fetal deaths and newborn infants in Japan.” Fertility and sterility 102.5 (2014): 1364-1370.

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