42 = (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³

 En The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy [1],  la farsa interestelar, multitemporal y pandimensional de Douglas Adams, Pensamiento Profundo, «la segunda computadora más poderosa en el universo del tiempo y el espacio», después de siete y medio millones de años de cálculos, proporciona al fin una respuesta a «la pregunta definitiva sobre la vida, el universo y todo lo demás»:

«Cuarenta y dos»

Pensamiento Profundo deja pendiente la tarea de encontrar la pregunta correspondiente a esta respuesta. La pregunta será hallada, explica la poderosa máquina, por una computadora aún más potente que integrará elementos orgánicos y que será llamada «la Tierra».

Un problema cúbico

En la Tierra del universo real, en septiembre de 2019, investigadores de la Universidad de Bristol y del Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT por sus siglas en inglés) anunciaron el descubrimiento de la solución a un añejo problema matemático que involucra el número 42. Se trata de un enigma basado en la ecuación diofántica [2]

en donde k es un número entero entre 1 y 100 y x, y, z  son números enteros.  El problema consiste en encontrar tres números enteros que al sumarlos elevados al cubo den como resultado un número k dado [3].  Para algunos números es fácil encontrar soluciones; por ejemplo el número 1 se puede expresar como la suma (-1)³ + 1³ + 1³  = 1, de manera que la solución es el conjunto (-1, 1, 1). De hecho, se puede demostrar algebraicamente que para los números uno y dos existe un número infinito de soluciones al problema.

De igual forma, 29 = 3³ + 1³ + 1³   y  55 = 3³ + 3³ + 1³  =  4³ + (-2)³ + (-1)³  . Por el contrario, se ha demostrado que para otros números, como el 32, no existen soluciones. A principios de los años 50 se conocían soluciones sencillas para algunos números, pero la búsqueda de combinaciones adicionales resultaba frustrante.  En 1953, Louis J. Mordell señaló que para el número tres se conocían sólo las soluciones (1, 1, 1) y (4, 4, -5), pero que seguramente debían existir muchas más. Para encontrar esas soluciones, escribió Mordell, sería necesario echar mano de una tecnología nueva para la época: las computadoras electrónicas.

Dicho y hecho, en 1955 las calculadoras electrónicas habían permitido hallar soluciones para 69 de los números entre 1 y 100 [4]. Las soluciones para el resto de los números involucraban números muy grandes, de más de ocho dígitos y por arriba de la capacidad de cómputo de la época. A través de las décadas, con computadoras cada vez más poderosas y algoritmos más eficientes, los investigadores fueron encontrando soluciones para los números faltantes o demostrando la inexistencia de soluciones en algunos casos.

Los últimos dos bastiones

En 2019, restaban sólo dos números recalcitrantes: el treinta y tres y el cuarenta y dos. En marzo de ese año, Andrew R. Booker, de la Universidad de Bristol, publicó en el portal ArXiv una solución para k = 33  con tres números de dieciséis dígitos cada uno [5]. Quedaba como último trofeo de los cazadores de números el 42, la misteriosa respuesta a la pregunta fundamental del universo.

Booker se asoció con Andrew Sutherland, un experto en cómputo del MIT para mejorar el algoritmo de búsqueda y para incorporar un poder de cómputo mucho mayor que el de cualquier computadora de Bristol (o del mundo). Sutherland es experto en cómputo en paralelo, es decir, en poner a trabajar en un mismo problema a varias computadoras que funcionan independientemente. Para resolver el problema del 42, Booker y Sutherland  lograron la integración de un sistema que conecta miles de computadoras caseras, cada una de las cuales resuelve pequeños segmentos del problema planteado. En conjunto, las computadoras conectadas de esta manera son análogas a la supercomputadora orgánica llamada «la Tierra» en la novela de Adams.

En septiembre de 2019, Sutherland anunció en su página de internet el hallazgo de una solución que involucraba números de 17 dígitos cada uno [6]:

Encontrar esta solución había requerido la friolera de 1.3 millones de horas netas de cómputo, que en todo caso es bastante menos que los siete y medio millones de años que requirió Pensamiento Profundo para hallar una respuesta equivalente. Además, los investigadores presentaron una solución para k =3 con tres números de 21 dígitos cada uno, excediendo por mucho cualquier expectativa de Mordell en 1953 [7].

Ya resuelto el problema para k = 42 y para el resto de los números del 1 al 100, la búsqueda se ha extendido hacia los números entre 101 y 1000. Booker y Sutherland hallaron soluciones para los números 165 y 906, y quedan solamente por resolver los casos para 114, 390, 579, 627, 633, 732, 921 y 975.

Falta todavía mucho camino por recorrer en la teoría de números, un universo de lugares y experiencias tanto o más fascinantes que las descritas en las páginas de la guía para hitchhikers de la galaxia.

Notas y referencias

[1] El libro se ha traducido al español peninsular como «Guía del autoestopista galáctico», y en él, por supuesto, las supercomputadoras son superordenadores.
[2] Una ecuación diofántica contiene expresiones polinomiales en las que sólo interesan las soluciones con números enteros.
[3] Mordell, L. J. (1969). Diophantine equations. Pure and Applied Mathematics 30. Academic Press.
[4] Miller, J. C. P., & Woollett, M. F. C. (1955). Solutions of the Diophantine Equation: x³+ y³+ z³= k. Journal of the London Mathematical Society, 1(1): 101-110.
[5] Booker, Andrew R. (2019), Cracking the problem with 33  (PDF), University of Bristol, arXiv:1903.04284
[6] http://math.mit.edu/~drew/. Acceso: 24 de noviembre de 2019
[7] Hay que recordar que un número de 17 dígitos elevado al cubo tiene al menos 3 x 17 = 51 dígitos.