Aventuras en el infinito: el Aleph

 

San Buenaventura en el Concilio de Lyon por F. de Zurbarán

 

El tiempo no puede ser infinito, concluyó San Buenaventura de Bagnoregio (1218-1274) al examinar la evidencia de los ciclos naturales.  El sabio franciscano razonó de la siguiente manera: Si el cosmos no tuvo comienzo y siempre ha existido, debe entonces haber transcurrido un número infinito de años.  Pero en cada año suceden doce meses lunares, por lo que el número de ciclos de la Luna debe ser doce veces infinito, lo cual es absurdo.  Por tanto, el número de años y de ciclos lunares debe ser finito y el universo tiene que haber sido creado en algún momento, tal como lo señala la narrativa del Génesis de la Biblia.

Las discusiones filosóficas y teológicas de la Europa del siglo XIII se enfocaban a refutar las ideas aristotélicas, recientemente rescatadas por los pensadores árabes como Avicena y Averroes, que contravenían los preceptos religiosos establecidos por la Iglesia.  El concepto de un universo infinito sin comienzo ni final, descrito por Aristóteles en su Física y otros escritos de filosofía natural, resultaba aberrante para la visión cristiana del cosmos.  La argumentación de Buenaventura en contra del infinito puede parecer no tan convincente en el contexto moderno, pero en su época dio pie, junto con varias otras argumentaciones, a la condena  de las ideas aristotélicas por Étienne Tempier, el arzobispo de París, en 1270 y 1277.

Desde una perspectiva diferente, Buenaventura se adelantó más de seiscientos años a la formalización matemática del concepto de infinito.  A finales del siglo XIX, el matemático ruso Georg Cantor (1845-1918) desarrolló su teoría de los números transfinitos para describir la cardinalidad (número de elementos) de los conjuntos de números.  Por ejemplo, se puede demostrar fácilmente que el conjunto de los números naturales (1, 2, 3, …) es infinito; basta tratar de imaginar el más grande de estos números (llamémoslo v) y constatar que siempre existirá un número mayor v + 1, que a su vez será menor que v + 1 + 1, etc.  Si durante un viaje aburrido quisiéramos entonar con nuestros amigos la vieja canción de “un elefante se columpiaba sobre la tela de una araña, … dos elefantes se columpiaban …” necesitaríamos un viaje realmente largo (infinitamente largo) para acabar de contar todos los posibles elefantes.

Cantor denotó la cardinalidad del conjunto de los números naturales con la letra hebrea aleph y un cero ( \aleph_0).  Aleph-cero (o aleph-nulo) es, pues, la cantidad de números naturales que existen, y es infinito.  Es lógico pensar que el conjunto de los números enteros negativos debe tener el mismo número de elementos que el conjunto de los números naturales, porque a cada número negativo le corresponde uno positivo (en la notación de Cantor, -1→ 1, -2→2, -3→3, …).  Ahora bien, donde la intuición se desmorona es cuando tratamos de estimar la cardinalidad de los números pares.  Sería lógico suponer que debe haber la mitad de números enteros pares que el total de todos los números enteros, ya que la otra mitad estaría formada por los números impares.  Sin embargo, siguiendo la lógica de parear elemento por elemento los dos conjuntos, tenemos que 2→1, 4→2, 6→3, …, es decir que a todo número par le corresponde un número natural.  Esto implica que el número total de números pares es igual que el total de números naturales (en ambos casos igual a aleph-cero). En el extraño mundo de los números transfinitos de Cantor, una parte de un conjunto puede ser tan grande como el conjunto entero.

El método de Cantor también nos permite refutar el argumento de Buenaventura.  Si el tiempo es infinito y ha habido un número infinito de años, cada uno de ellos lo podemos parear con un número natural.  De igual manera, podemos asignar un número natural a cada uno de los ciclos lunares, por lo que ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad que el total de los números naturales.  De esta forma, el aleph-cero de Cantor representa tanto el número de años como el de meses lunares transcurridos a lo largo de un tiempo infinito.  De todas maneras, la mayoría de las cosmologías científicas modernas coinciden ahora con la teología judeo-cristiana en que el universo, al menos como lo conocemos, tuvo un comienzo y por lo tanto el tiempo no es infinito.

Aleph-cero tiene otras propiedades fascinantes y totalmente contrarias a la intuición.  El Libro de Arena de Jorge Luis Borges es un volumen aparentemente normal pero que tiene la particularidad de que al abrirlo en cualquier lugar aparece siempre nuevo material entre dos páginas dadas. A pesar de que el libro tiene un tamaño y peso finitos, no se le puede encontrar ni el principio ni el final pues siempre aparecen páginas adicionales.  ¿Cuántas páginas tendría un libro así?  Lógicamente, sería un número infinito.  En un momento dado, podemos asignar a cada página del libro un número natural, por lo que el total de páginas sería igual a \aleph_0.  Sin embargo, al aparecer una nueva página entre dos existentes, tendríamos que correr la numeración, pero el número total de páginas seguiría siendo el mismo, aleph-cero. No importa cuantas páginas nuevas aparezcan, el número total seguirá siendo el mismo número infinito.  Es más, podemos añadir un número infinito de páginas nuevas y el total seguirá siendo \aleph_0.[1]

Con estos ejemplos podríamos estar seguros que \aleph_0 tendría que ser el número más grande posible.  Sin embargo, Cantor demostró que ese no es el caso, y postuló que hay un número infinito de niveles más altos de infinidad, a los que denotó con sucesivos números aleph (aleph-uno, aleph-dos, etc.).  Por ejemplo, el número de puntos a lo largo de una línea es mayor que el total de los números naturales.  Estos puntos representan los números reales, que incluyen además de los enteros a todos los números fraccionarios. Cantor mostró que la cardinalidad de estos números es mayor que aleph-cero, y supuso que este infinito correspondía con aleph-uno, \aleph_1, aunque nunca logró demostrarlo.  También desarrolló métodos muy creativos para demostrar la verdad nada intuitiva de que existe el mismo número infinito de puntos en una línea que en un cuadrado o en un cubo.  El Aleph de Borges es “uno de los puntos del espacio que contiene todos los puntos. […] el lugar donde están, sin confundirse, todos los lugares del orbe, vistos desde todos los ángulos.”

Lo que Cantor mostró es que la cardinalidad de los números naturales (\aleph_0) es infinita, pero al menos en teoría es contable.  Si encontráramos en la Biblioteca Nacional de Argentina el mítico libro de arena de Borges, podríamos en principio contar todas sus páginas, aunque la tarea nos tomaría un tiempo infinito.  El total de los números reales, por el contrario, es también infinito pero además es incontable y corresponde con un nivel más alto de infinidad que bajo ciertos supuestos corresponde con  \aleph_1.

Parafraseando a George Orwell, todos los infinitos son iguales, pero algunos son más iguales que otros.


[1] El Libro de Arena es análogo a la paradoja del Gran Hotel de David Hilbert (1862-1943).  Supongamos que llegamos a un hotel con un número finito de cuartos (digamos 100 cuartos) y todos ellos están ocupados.  Si pedimos un cuarto, el recepcionista no podrá atender la solicitud. Ahora supongamos que hemos llegado a un hotel igualmente lleno, pero con un número infinito de cuartos.  Si pedimos una habitación, el encargado podría mover a la persona del cuarto 1 al cuarto 2, a la del cuarto 2 al cuarto 3, etc. y asignarnos el cuarto 1.  En el caso extremo, si llegamos en compañía de un número infinito de amigos y cada uno de nosotros solicita un cuarto el encargado del hotel podría mover a cada huésped a un cuarto diferente y asignarnos uno vacío a nosotros y a nuestros numerosos amigos.

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2 comentarios en “Aventuras en el infinito: el Aleph

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