Autor: Héctor T. Arita

  • PANGLOSS, COLÓN Y LA SÍFILIS

    Enfermo de sífilis. Atribuido a Durero

    En Cándido, o el Optimismo, Voltaire[1] satiriza a los idealistas y nos presenta a Pangloss, un optimista empedernido que siempre encuentra una causa positiva a las peores desgracias.  Al hablar sobre la sífilis que lo aqueja, Pangloss empieza por describir cómo adquirió “los tormentos del infierno” por haber gustado “las delicias del paraíso” en brazos de una bella doncella y de cómo el germen a su vez provenía en sucesión de un franciscano, una condesa, un capitán, una marquesa, un paje, un jesuita y finalmente, “en línea directa, de uno de los compañeros de Cristóbal Colón.»  A pesar de su sufrimiento, Pangloss afirma que la enfermedad es un elemento indispensable en el mejor de los mundos, porque “si Colón no hubiera atrapado en una isla de América esa enfermedad que emponzoña la fuente de la generación, […] no tendríamos ni el chocolate ni la cochinilla.”

    Tradicionalmente se ha atribuido a la sífilis un origen americano, porque la primera epidemia importante de la enfermedad en Europa se produjo poco después del regreso de Colón, en 1494 durante el sitio de Nápoles por las tropas francesas.  Debido a su naturaleza venérea y la propensión a aparecer en puertos y otros lugares llenos de viajeros, no tardó la enfermedad en ganar nombres peyorativos y llenos de xenofobia.  En Italia se le llamó “la enfermedad francesa”; en reciprocidad, los franceses la conocieron como “la enfermedad italiana”, pero era “la enfermedad española” en Holanda, “la enfermedad polaca” en Rusia y “la enfermedad cristiana” en Turquía.

    Para apoyar la hipótesis de que Treponema pallidum, la bacteria de la sífilis, entró en Europa con los primeros viajeros al Nuevo Mundo, Jared Diamond[2] señala la agudeza con la que la enfermedad azotaba a los europeos a finales del siglo XV, cuando las pústulas los cubrían de cabeza a pies, la carne literalmente se caía a pedazos y la muerte sobrevenía en cosa de unos cuantos meses.  Ya a mediados del siglo XVI la enfermedad había evolucionado hacia una forma un poco más benigna, más parecida a la actual.

    Tratamiento con mercurio (ca. 1496)

    Sin embargo, desde hace mucho tiempo se ha remarcado también que algunos escritos europeos antiguos describen padecimientos con síntomas muy similares a los de la sífilis.  Algunos escritos de Hipócrates, por ejemplo, parecen describir los chancros genitales característicos de la infección por Treponema.  Se ha especulado también que “la lepra” que aparece innumerables veces en la Biblia podría en realidad corresponder a la sífilis.  Por ejemplo, uno de los suplicios que tuvo que soportar Job fue el quedar cubierto “con una úlcera maligna desde la planta de los pies hasta la coronilla de la cabeza.”  También algunos escritos medievales describen pústulas semejantes a las de la sífilis, y recomiendan el uso de mercurio para su tratamiento.

    Dadas las evidencias a favor y en contra, y aunque la mayoría de los expertos considera que un origen americano de la enfermedad es el escenario más probable, no existe certeza completa al respecto.

    Hace unos días circuló en los medios masivos de comunicación una nota en la que se anunció el descubrimiento de pruebas, en apariencia irrefutables, de la presencia de la sífilis en Europa antes de Colón[3].  Brian Connell y su equipo, del Museo de Londres analizaron más de cinco mil restos óseos de personas enterradas en el Hospital de Santa María, en Londres, en los siglos XIII y XIV.  De acuerdo con las notas periodísticas, en al menos 25 de los esqueletos se encontraron lesiones que inequívocamente se pueden identificar como signos de sífilis.

    Si estos resultados se confirman, se refutaría la hipótesis del origen americano de la sífilis y de su introducción a Europa por los hombres de mar de Cristóbal Colón.  Sin embargo, es necesario aguardar a que Connell y su equipo sometan sus resultados al escrutinio de alguna revista científica antes de emitir un juicio a favor o en contra del almirante genovés.

    La moral es una enfermedad venérea.  Su primera fase se llama virtud.  Su segunda fase aburrimiento y la tercera, sífilis.

    Karl Kraus (1874-19 36).  Escritor y periodista austriaco.

    Actualización, octubre de 2015. El artículo de B. Connell y sus colaboradores se publicó este año [4]. Las conclusiones de este artículo científico son más cautas que las noticias que aparecieron en 2010: se habla de que los datos sugieren la presencia de sífilis en Europa antes de 1492.

    [1] Voltaire.  2006.  Cuentos completos en prosa y verso.  Traducción de M. Armiño y M. Domínguez.  Ediciones Siruela/Fondo de Cultura Económica, México.

    [2] Diamond, J. D. 1997. Guns, germs, and steel. The fates of human societies. W. W. Norton, Nueva York.

    [3] Por ejemplo, esta nota del Discovery Channel

    [4] Walker, D., Powers, N., Connell, B. et al. (2015) Evidence of skeletal treponematosis from the medieval burial ground of St. Mary Spital, London, and implications for the origins of the disease in Europe. American Journal of Physical Anthropology, 156, 90-101.

  • El tamaño del universo

     

    Edición del siglo XV de «De Rerum Natura»

    «De la Naturaleza de las Cosas» (De Rerum Natura) es un extenso poema filosófico del pensador romano Lucrecio escrito en el primer siglo antes de nuestra era.  El poema es la fuente más completa y representativa que se conserva sobre el pensamiento de Epicuro de Samos, el filósofo griego del siglo IV AC.  Lucrecio resume en los seis libros de su poema la cosmología y la historia natural tal y como la concebía el epicureísmo: un sistema con leyes y procesos naturales, basados en el movimiento de los átomos y que no requería de la intervención de los dioses para explicar su funcionamiento.  En la parte final del libro primero, Lucrecio rechaza la idea aristotélica de un universo finito en el espacio e infinito en el tiempo.  Supongamos, propone el poeta, que el universo tiene un límite y que alguien se aproxima velozmente a su borde y arroja una jabalina o dispara una flecha, ¿Seguirá el proyectil su curso o se estrellará contra una pared infranqueable?  Lucrecio argumenta que el segundo escenario es absurdo y defiende la idea de un universo infinitamente grande.  En la traducción de D. José Marchena [1]:

    Si además el espacio es limitado
    Y alguno se coloca en el extremo
    Y tira alguna flecha voladora,
    ¿Deseas que tirada con gran fuerza
    Vuele ligera por llegar al blanco,
    O piensas que la impide algún estorbo
    Su vuelo y no la deja ir adelante?

    La visión moderna del cosmos nos describe un universo finito en el que además la aparente paradoja de Lucrecio queda resuelta.  Más propiamente, el llamado universo observable es una enorme esfera que contiene cualquier objeto cuya luz (u otro tipo de señal) haya tenido tiempo para alcanzarnos desde el big bang, el evento que dio origen al universo como lo conocemos hace 13 mil 700 millones de años.

    Aunque este universo es finito, no tiene en realidad bordes.  Para entender esta aparente contradicción, pensemos en un ejemplo más conocido: nuestro propio planeta.  En la Tierra, si un avión vuela continuamente en una dirección definida (digamos, hacia el este) tarde o temprano volverá al punto de partida, después de completar un circuito al planeta y podría repetir el ciclo un número indefinido de veces.  No es que la Tierra sea infinita, simplemente que su curvatura en tres dimensiones dicta la ausencia de bordes en dos dimensiones.  De manera similar, nuestro universo es curvo en una forma tal que si viajáramos dentro de él en una ruta aparentemente recta, tarde o temprano regresaríamos al punto de partida.  El hipotético arquero de Lucrecio no tendría problema en enviar su flecha en la dirección de un aparente borde del universo; la flecha podría seguir moviéndose por tiempo indefinido sin encontrar jamás el final del universo.

    Según algunos modelos recientes [2], el universo observable tiene un radio de unos 46 mil 600 millones de años luz.  La luz emitida por un objeto localizado actualmente a esa distancia de la Tierra estaría llegando a nosotros después de viajar por 13 mil 700 millones de años, es decir, desde el big bang.  En ese tiempo, debido a la expansión del universo, tal objeto se habría alejado de nosotros, de tal forma que actualmente estaría localizado a 46.6 mil millones de años luz de distancia.

    Hace unos días la revista Nature anunció el descubrimiento de una galaxia que rompió el récord del objeto espacial más lejano que se conoce [3].  La galaxia, conocida con el nada atractivo nombre de UDFy-38135539, se formó apenas unos cuantos cientos de millones de años después del big bang, y lo que los astrónomos pueden ver ahora es un retrato de cómo era hace 13.1 miles de millones de años.  Seguramente la galaxia ya no existe como tal, pero podemos calcular que la materia que la formó se encuentra actualmente a cerca de 40 mil millones de años de luz de distancia, de acuerdo con el modelo de expansión del universo.

    Un año luz se define como la distancia que recorre un haz de luz en un año.  Considerando que la luz se mueve en el vacío a una velocidad de 300 mil kilómetros por segundo, nos damos cuenta que un año luz debe ser una distancia realmente asombrosa.  Pero, ¿Realmente qué tan grande es una distancia de 40 mil millones de años luz?

    Calculado con Wolfram Alpha

    Para darnos una idea, empecemos con algo literalmente terrenal, una distancia que en nuestra experiencia cotidiana consideraríamos grande.  Por ejemplo, la distancia a vuelo de pájaro entre la ciudad de México y Santiago de Chile es de 6,590 kilómetros.  Un avión comercial necesita unas siete y media horas para recorrer esa ruta.  Esta distancia es muy cercana al radio promedio de la Tierra, es decir a la distancia desde el centro del planeta a su superficie (6,367.5 km).  Llamemos a esta distancia R.

    Multiplicando R por 60.4 obtenemos la distancia de la Tierra a la Luna (cerca de 400,000 kilómetros).  Nuestro avión comercial tardaría poco menos de 19 días en llegar a la Luna, aunque un haz de luz completaría la distancia en 1.3 segundos, por lo que podemos decir que la distancia a la Luna es de 1.3 segundos luz.

    Ahora multipliquemos la distancia de la Tierra a la Luna por un factor de 374 y obtendremos la distancia al Sol (149 millones de kilómetros).  La luz solar que entra por la ventana de mi estudio en este momento fue en realidad emitida hace 8.3 minutos, de manera que puede decirse que la distancia al Sol es de 8.3 minutos luz.  Por cierto, la distancia de la Tierra al Sol se define arbitrariamente como la unidad astronómica (UA).

    Moviéndonos al ámbito de las distancias realmente astronómicas, multipliquemos la distancia al Sol por un factor de 543,000 y obtendremos la distancia a Sirio, la estrella más brillante del firmamento.  Podemos entonces decir que Sirio se encuentra a una distancia de 543,000 unidades astronómicas, que equivalen a 8.6 años luz.

    Pero Sirio es sólo una de los cientos de miles de millones de estrellas en nuestra galaxia (la Vía Láctea).  Multiplicando la distancia a Sirio por un factor de 11,628 obtenemos el diámetro promedio de la galaxia (100,000 años luz).  Si esta distancia la multiplicamos por un factor de 25.7 obtendremos la distancia a una de las galaxias más cercanas, la M31 en la constelación de Andrómeda (2.57 millones de años luz).

    En 2003 se anunció el descubrimiento de una enorme congregación de galaxias ordenadas en forma más o menos lineal.  Esta llamada gran muralla Sloan mide mil trescientos millones de años luz de largo y se encuentra aproximadamente a mil millones de años luz de la Tierra, es decir 389 veces más lejos que M31.  Finalmente, multiplicando esta distancia por un factor de 46 llegamos la límite del universo observable, la distancia máxima a la que se podría encontrar un objeto cuya luz podemos detectar en este momento desde la Tierra.

    Es importante notar que en cada paso hemos multiplicado por un factor.  Para resumir nuestros cálculos y tratar de entender lo que una distancia de 46 mil 600 millones de años luz representa, necesitamos multiplicar sucesivamente todos esos factores:

    60.4 x 374 x 543,000 x 11,628 x 25.7 x 389 x 46 = 6.56 x 1019

    Tenemos entonces que el objeto más lejano en el universo se encontraría a una distancia 6.56 x 1019 veces R, recordando que R es el radio de la Tierra y aproximadamente la distancia entre la ciudad de México y Santiago de Chile.  Esto representa una distancia de poco menos de medio cuatrillón de kilómetros (4.18 x 1023 km), o sea

    418 000 000 000 000 000 000 000 kilómetros.

    La próxima vez que nos quejemos por las más de siete horas de vuelo que requiere un viaje México-Santiago, pensemos que un viaje a las galaxias más lejanas nos tomaría 65 600 000 000 000 000 000 veces ese tiempo, suponiendo que encontráramos un vuelo sin escalas.

    {Nota añadida el 27 de enero 2011. Un artículo en Nature reporta el hallazgo de una galaxia aún más lejana (y antigua) que UDFy-38135539. Observada a una distancia de más de 13.2 miles de millones de años, la galaxia se formó apenas 500 millones de años después del big-bang}


    [2] Gott III, J.  et al. 2005.  Astrophysical Journal 624:463-484.

    [3] Lehnert, M. D. et al. 2010. Nature 467:940-942.

     

  • Aventuras en el infinito: el Aleph

     

    San Buenaventura en el Concilio de Lyon por F. de Zurbarán

     

    El tiempo no puede ser infinito, concluyó San Buenaventura de Bagnoregio (1218-1274) al examinar la evidencia de los ciclos naturales.  El sabio franciscano razonó de la siguiente manera: Si el cosmos no tuvo comienzo y siempre ha existido, debe entonces haber transcurrido un número infinito de años.  Pero en cada año suceden doce meses lunares, por lo que el número de ciclos de la Luna debe ser doce veces infinito, lo cual es absurdo.  Por tanto, el número de años y de ciclos lunares debe ser finito y el universo tiene que haber sido creado en algún momento, tal como lo señala la narrativa del Génesis de la Biblia.

    Las discusiones filosóficas y teológicas de la Europa del siglo XIII se enfocaban a refutar las ideas aristotélicas, recientemente rescatadas por los pensadores árabes como Avicena y Averroes, que contravenían los preceptos religiosos establecidos por la Iglesia.  El concepto de un universo infinito sin comienzo ni final, descrito por Aristóteles en su Física y otros escritos de filosofía natural, resultaba aberrante para la visión cristiana del cosmos.  La argumentación de Buenaventura en contra del infinito puede parecer no tan convincente en el contexto moderno, pero en su época dio pie, junto con varias otras argumentaciones, a la condena  de las ideas aristotélicas por Étienne Tempier, el arzobispo de París, en 1270 y 1277.

    Desde una perspectiva diferente, Buenaventura se adelantó más de seiscientos años a la formalización matemática del concepto de infinito.  A finales del siglo XIX, el matemático ruso Georg Cantor (1845-1918) desarrolló su teoría de los números transfinitos para describir la cardinalidad (número de elementos) de los conjuntos de números.  Por ejemplo, se puede demostrar fácilmente que el conjunto de los números naturales (1, 2, 3, …) es infinito; basta tratar de imaginar el más grande de estos números (llamémoslo v) y constatar que siempre existirá un número mayor v + 1, que a su vez será menor que v + 1 + 1, etc.  Si durante un viaje aburrido quisiéramos entonar con nuestros amigos la vieja canción de «un elefante se columpiaba sobre la tela de una araña, … dos elefantes se columpiaban …» necesitaríamos un viaje realmente largo (infinitamente largo) para acabar de contar todos los posibles elefantes.

    Cantor denotó la cardinalidad del conjunto de los números naturales con la letra hebrea aleph y un cero ( \aleph_0).  Aleph-cero (o aleph-nulo) es, pues, la cantidad de números naturales que existen, y es infinito.  Es lógico pensar que el conjunto de los números enteros negativos debe tener el mismo número de elementos que el conjunto de los números naturales, porque a cada número negativo le corresponde uno positivo (en la notación de Cantor, -1→ 1, -2→2, -3→3, …).  Ahora bien, donde la intuición se desmorona es cuando tratamos de estimar la cardinalidad de los números pares.  Sería lógico suponer que debe haber la mitad de números enteros pares que el total de todos los números enteros, ya que la otra mitad estaría formada por los números impares.  Sin embargo, siguiendo la lógica de parear elemento por elemento los dos conjuntos, tenemos que 2→1, 4→2, 6→3, …, es decir que a todo número par le corresponde un número natural.  Esto implica que el número total de números pares es igual que el total de números naturales (en ambos casos igual a aleph-cero). En el extraño mundo de los números transfinitos de Cantor, una parte de un conjunto puede ser tan grande como el conjunto entero.

    El método de Cantor también nos permite refutar el argumento de Buenaventura.  Si el tiempo es infinito y ha habido un número infinito de años, cada uno de ellos lo podemos parear con un número natural.  De igual manera, podemos asignar un número natural a cada uno de los ciclos lunares, por lo que ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad que el total de los números naturales.  De esta forma, el aleph-cero de Cantor representa tanto el número de años como el de meses lunares transcurridos a lo largo de un tiempo infinito.  De todas maneras, la mayoría de las cosmologías científicas modernas coinciden ahora con la teología judeo-cristiana en que el universo, al menos como lo conocemos, tuvo un comienzo y por lo tanto el tiempo no es infinito.

    Aleph-cero tiene otras propiedades fascinantes y totalmente contrarias a la intuición.  El Libro de Arena de Jorge Luis Borges es un volumen aparentemente normal pero que tiene la particularidad de que al abrirlo en cualquier lugar aparece siempre nuevo material entre dos páginas dadas. A pesar de que el libro tiene un tamaño y peso finitos, no se le puede encontrar ni el principio ni el final pues siempre aparecen páginas adicionales.  ¿Cuántas páginas tendría un libro así?  Lógicamente, sería un número infinito.  En un momento dado, podemos asignar a cada página del libro un número natural, por lo que el total de páginas sería igual a \aleph_0.  Sin embargo, al aparecer una nueva página entre dos existentes, tendríamos que correr la numeración, pero el número total de páginas seguiría siendo el mismo, aleph-cero. No importa cuantas páginas nuevas aparezcan, el número total seguirá siendo el mismo número infinito.  Es más, podemos añadir un número infinito de páginas nuevas y el total seguirá siendo \aleph_0.[1]

    Con estos ejemplos podríamos estar seguros que \aleph_0 tendría que ser el número más grande posible.  Sin embargo, Cantor demostró que ese no es el caso, y postuló que hay un número infinito de niveles más altos de infinidad, a los que denotó con sucesivos números aleph (aleph-uno, aleph-dos, etc.).  Por ejemplo, el número de puntos a lo largo de una línea es mayor que el total de los números naturales.  Estos puntos representan los números reales, que incluyen además de los enteros a todos los números fraccionarios. Cantor mostró que la cardinalidad de estos números es mayor que aleph-cero, y supuso que este infinito correspondía con aleph-uno, \aleph_1, aunque nunca logró demostrarlo.  También desarrolló métodos muy creativos para demostrar la verdad nada intuitiva de que existe el mismo número infinito de puntos en una línea que en un cuadrado o en un cubo.  El Aleph de Borges es «uno de los puntos del espacio que contiene todos los puntos. […] el lugar donde están, sin confundirse, todos los lugares del orbe, vistos desde todos los ángulos.»

    Lo que Cantor mostró es que la cardinalidad de los números naturales (\aleph_0) es infinita, pero al menos en teoría es contable.  Si encontráramos en la Biblioteca Nacional de Argentina el mítico libro de arena de Borges, podríamos en principio contar todas sus páginas, aunque la tarea nos tomaría un tiempo infinito.  El total de los números reales, por el contrario, es también infinito pero además es incontable y corresponde con un nivel más alto de infinidad que bajo ciertos supuestos corresponde con  \aleph_1.

    Parafraseando a George Orwell, todos los infinitos son iguales, pero algunos son más iguales que otros.


    [1] El Libro de Arena es análogo a la paradoja del Gran Hotel de David Hilbert (1862-1943).  Supongamos que llegamos a un hotel con un número finito de cuartos (digamos 100 cuartos) y todos ellos están ocupados.  Si pedimos un cuarto, el recepcionista no podrá atender la solicitud. Ahora supongamos que hemos llegado a un hotel igualmente lleno, pero con un número infinito de cuartos.  Si pedimos una habitación, el encargado podría mover a la persona del cuarto 1 al cuarto 2, a la del cuarto 2 al cuarto 3, etc. y asignarnos el cuarto 1.  En el caso extremo, si llegamos en compañía de un número infinito de amigos y cada uno de nosotros solicita un cuarto el encargado del hotel podría mover a cada huésped a un cuarto diferente y asignarnos uno vacío a nosotros y a nuestros numerosos amigos.