EL CRECIMIENTO DE UNA EPIDEMIA. Los modelos matemáticos y el desarrollo de la pandemia del 2020

Figura 1. Fotografía de microscopio electrónico del coronavirus de la enfermedad pulmonar aviar [dominio público, Centros de Control de Enfermedades (CDC) de los Estados Unidos de América

El 28 de febrero de este año se confirmaron los primeros casos de covid-19 en México. Con la llegada del nuevo coronavirus SARS-CoV-2 comenzó en el país lo que ha sido una larga y penosa epidemia, que hasta septiembre contaba ya más de medio millón de casos confirmados oficialmente y que había cobrado ya más de setenta mil vidas. El temor en aquellos primeros días era que se produjera en México una epidemia de gran intensidad, como las que se estaban gestando en el norte de Italia y en España, países que en marzo reportaban cada día más de cinco mil casos nuevos y acumulaban para entonces varias decenas de miles de personas infectadas.

En Italia se había comenzado a desatar la epidemia desde mediados de febrero. El día de los primeros casos en México, Italia reportaba ya casi novecientos casos confirmados; para finales de marzo eran más de cien mil; para finales de abril, más de doscientos mil. En sus primeras fases, la epidemia en México no creció tan velozmente: A finales de marzo había poco más de mil casos confirmados, por unos veinte mil a finales de abril y casi cien mil a finales de mayo. En otras palabras, en México la epidemia tardó tres meses en acumular el número de casos confirmados que Italia presentó en un solo mes. Parecía entonces que en México nunca se habría de tener tantos casos, o tantos muertos, como en Italia.

Sin embargo, con el correr de los meses quedó claro que las epidemias en Italia y en México seguían trayectorias muy diferentes. En el país europeo, la epidemia comenzó a menguar en abril y el número de casos nuevos disminuyó rápidamente, casi con el mismo vertiginoso ritmo con el que había crecido. En México, por el contrario, la epidemia siguió creciendo, nunca tan rápido como en Italia pero sin visos de frenar sino hasta principios de agosto, cuando finalmente empezaron a verse indicios de un descenso en el número diario de casos nuevos. En cuanto al número total de contagios, el medio millón de casos registrados hasta mediados de agosto en México representan aproximadamente el doble de los documentados en Italia.

¿Por qué se dan estas diferencias tan marcadas entre las trayectorias de las epidemias en diferentes países o regiones? No existe una única respuesta, y se necesita considerar una serie muy larga de factores físicos, ambientales, biológicos y sociales para apenas comenzar a comprender la dinámica de una pandemia como la que estamos viviendo en este año. Una herramienta de gran utilidad para incorporar todos esos efectos son los modelos epidemiológicos.

Los modelos que usan los epidemiólogos, como todos los modelos matemáticos, son representaciones simplificadas de un proceso natural o social que es demasiado complejo como para estudiarlo en su totalidad. Si una reproducción en miniatura de un avión es un modelo, el mismo término se puede aplicar a una serie de números, fórmulas, tablas y gráficas que replican, en escala y de forma simplificada, la gran complejidad del desarrollo de una epidemia. Igual que un avión a escala, estos modelos matemáticos son apenas esbozos del objeto que se intenta representar. Nadie esperaría que un modelo a escala de un avión pueda volar a cientos de kilómetros por hora; de igual forma, ningún modelador matemático serio pretende replicar con total exactitud el desarrollo de una epidemia, mucho menos controlarla.

Aun con estas limitaciones, los modelos epidemiológicos son herramientas de gran utilidad para entender cómo se desarrolla una epidemia y qué acciones se pueden tomar para reducir su impacto sobre las poblaciones humanas. Veamos a continuación unos ejemplos sencillos de cómo se construye un modelo epidemiológico.

¿Por qué las epidemias tienden a crecer explosivamente?

Imaginemos un tipo de bacteria que crece en la piel de la palma de las manos y que se transmite –se “contagia”– siempre que una persona infectada saluda de mano a otra. Ahora imaginemos que a un pequeño pueblo llega una persona infectada por la bacteria (el caso “0” en la Figura 2). En este pueblo existe una antigua costumbre que obliga a cada persona a saludar de mano cada día a una, y no más de una persona. Siguiendo esta regla, vemos que la persona Cero saludará y contagiará a otro habitante del pueblo cada día, por lo que en cuatro días habrá transmitido directamente la bacteria a otros cuatro individuos (marcados 1, 2, 3 y 4 en la Figura 2).

Figura 2. EL CRECIMIENTO EXPONENCIAL de una epidemia bajo las condiciones muy simples que se describen en el texto. Se muestra la cadena de contagios en los primeros días, así como las gráficas de la velocidad de crecimiento y del número acumulado de contagiados. Ver texto principal para los detalles.

Sin embargo, la cadena de contagios no termina ahí. La persona (1) que contrajo la bacteria el primer día transmitirá la enfermedad a otro individuo cada día subsecuente, y cada uno de estos individuos a otros más. Tenemos entonces que se producen uno, dos, cuatro y ocho contagios en los primeros cuatro días de esta epidemia (el número de círculos cada día en la Figura 2). Para ver cuántos contagios se podrían tener en los siguientes días podríamos seguir dibujando bolitas y rayitas, pero es mucho más sencillo hacer esto aplicando un modelo matemático. Vemos que cada día se produce el doble de contagios que en el día anterior, por lo que podemos suponer que en días subsecuentes tendremos 16, 32, 64, 128, etc. contagios. Lo que hemos hecho aquí es crear un modelo muy simple, una regla aritmética, que en este caso es “multiplicar el número de contagios por dos cada día”, a partir de unas pocas observaciones.

El modelo nos permite calcular fácilmente el número de contagios que se producirían varios días después del inicio de la epidemia sin necesidad de seguir dibujando círculos y rayas. Una representación gráfica de este modelo, como se muestra arriba a la derecha en la Figura 2, permite constatar que el número de contagios crece muy rápidamente, de manera explosiva. Los modeladores dirían que lo que tenemos enfrente es un ejemplo de crecimiento exponencial, en el que cada unidad de tiempo (aquí, cada día) la variable que estamos modelando (el número de contagios) se multiplica por un factor constante (en este caso, por dos). El número de contagios por día es una medida de la velocidad con la que crece una epidemia porque lleva la cuenta de los casos nuevos que se añaden cada día. Así como la velocidad de un automóvil se mide con la distancia recorrida en un tiempo dado (por ejemplo, en kilómetros por hora), la velocidad de crecimiento de una epidemia se mide con el número de contagios por día.

Otra forma de analizar el crecimiento de una epidemia es con el número acumulado de casos. En nuestro ejemplo, el día 1 tenemos dos casos en total (el caso “0” y el contagiado el día uno), el día 2 tenemos cuatro casos en total, el día 3 juntamos ya ocho casos y para el cuarto día contamos ya dieciséis (el número total de círculos en la figura). Nótese que la secuencia de casos acumulados es parecida a la del número de contagios por día: 1, 2, 4, 8, 16. Continuando la secuencia, podemos construir la gráfica del número total de infectados (abajo a la derecha en la Figura 2) y constatar que esta curva también crece explosivamente.

Los matemáticos saben que esto no es una casualidad; en cualquier fenómeno con crecimiento exponencial, tanto la velocidad de ese crecimiento como el número acumulado de elementos siguen una fórmula exponencial. Es la misma fórmula que rige el crecimiento de una población de bacterias, o que determina la acumulación de capital en una cuenta con interés fijo o el incremento con los años en el número de componentes en los procesadores de las computadoras. Todos estos son procesos en los que la velocidad de crecimiento aumenta muy rápidamente, de tal manera que en poco tiempo se acumulan cantidad ingentes de los elementos a contar (bacterias, capital o cantidad de componentes en los ejemplos).

Entonces, ¿por qué las epidemias reales no crecen exponencialmente?

Continuando nuestro ejercicio de imaginación, sigamos calculando cuántas personas más se contagiarían si la bacteria siguiera propagándose al mismo ritmo que en la Figura 2. En diez días habría 1024 contagiados en total, pero al día veinte habría ya casi diez millones y medio y en un mes más de mil millones de infectados. Claramente, este escenario futuro proyectado por el modelo es equivocado. ¿Por qué un modelo que funciona muy bien para la fase inicial de la epidemia no sirve a largo plazo?

Hay numerosos factores que hacen que la propagación de una epidemia que es exponencial al principio no siga creciendo al infinito. Uno de ellos es el fenómeno de la saturación, que en nuestro ejemplo lo podemos entender si consideramos que las personas ya infectadas no se pueden contagiar de nuevo. Entonces, a medida que el número de infectados aumenta, el número de personas susceptibles de contagio (que se pueden infectar porque aún no se contagian) disminuye. En consecuencia, a largo plazo el número de contagios es cada vez más bajo simplemente porque hay cada vez menos personas que se pueden contagiar, es decir, la población se satura con individuos ya infectados, que no son susceptibles a un nuevo contagio.

En la Figura 2 supusimos que un infectado se encuentra con otra persona cada día y le contagia la bacteria. ¿Qué pasa, sin embargo, si la persona con la que se encuentra ya está infectada? Obviamente, no puede haber un contagio nuevo en una persona ya infectada. En la Figura 3, el infectado “1” entra en contacto con una persona el día 3; sin embargo, esta persona (marcada como “A”) ya contrajo anteriormente la bacteria y no puede volver a infectarse. No se produce un contagio nuevo y no se produce una nueva cadena de contagios. Lo mismo sucede con el individuo “B”.

Figura 3. EL CRECIMIENTO LOGÍSTICO de una epidemia cuyo desarrollo se limita por la saturación y por la recuperación de los enfermos. Ver texto principal para los detalles.

Otro factor que hace que las epidemias reales no crezcan exponencialmente a largo plazo es que no todos los individuos infectados son contagiosos todo el tiempo. Un contagiado puede dejar de ser propagador de la epidemia si se recupera (“se cura”), o si fallece o si de alguna manera se aísla del resto de la población. En nuestro ejercicio de imaginación, pensemos que la bacteria de la piel tiene un ciclo de vida tal que en cuatro días desaparece espontáneamente de la piel de los infectados. En la Figura 3 se representa lo que sucedería con el individuo “0” si al cuarto día dejara de ser propagador. Aunque entrara en contacto con un individuo susceptible (“C”) no podría producir un contagio nuevo ni generar una nueva cadena de contagios.

El efecto combinado de los dos factores mencionados (la saturación y la recuperación) es una reducción en el número de contagios que se producen cada día. La Figura 3 muestra que ahora en los primeros cuatro días tenemos uno, dos, tres y cinco eventos de contagio, por lo que se acumulan dos, cuatro, siete y doce casos en total (esta última cifra es el número total de círculos naranja). A largo plazo, la velocidad de crecimiento de la epidemia, medida con el número de contagios cada día, crece rápidamente al principio, alcanza un pico (su valor más alto) y posteriormente disminuye hasta que la epidemia casi desaparece (Figura 3, arriba a la derecha). Con esos mismos números, la curva de casos acumulados toma una forma parecida a una “S”, con un crecimiento relativamente lento al principio, una fase de crecimiento muy rápido a la mitad y una fase final de crecimiento cada vez más lento hasta alcanzar un número máximo de casos totales (Figura 3, abajo a la derecha).

Los modeladores han encontrado que si el crecimiento de una epidemia está determinado por la saturación, el número de casos acumulados sigue una curva llamada logística, similar a la que sigue una población de animales en un ambiente con recursos limitados. Al añadir el factor de las personas que se recuperan, fallecen o se aíslan, el modelo cambia, proyectando epidemias que crecen más lentamente, pero que también tardan más tiempo en desaparecer.

Los modelos aplicados a las epidemias de la vida real

Los modelos de las figuras 2 y 3 son simplificaciones de procesos epidémicos mucho más complejos, pero nos ayudan a entender los factores centrales que determinan el desarrollo de una epidemia y nos dan una idea de la manera en la que los expertos, con modelos más complejos, pueden monitorear y proyectar hacia el futuro el avance de una epidemia y pueden incluso proponer medidas de contención.

El modelo de la Figura 2 monitorea solamente el número de contagios nuevos, los que por sí solos producen el típico crecimiento exponencial. El modelo de la Figura 3 muestra que en la realidad la mayoría de las epidemias terminan por controlarse solas, por los efectos de la saturación y la recuperación de los enfermos, fenómenos que reducen el número de contagios nuevos. La saturación es lo que está atrás del concepto de la llamada “inmunidad de rebaño” o inmunidad de grupo. La idea básica es que en fases avanzadas de una epidemia, cuando un porcentaje alto de la población ya ha sido expuesta al virus y ha desarrollado defensas naturales, la cantidad de personas susceptibles de contagio es cada vez más baja, lo que reduce el número de contagios que se producen cada día y que, a largo plazo, lleva a la desaparición natural de la epidemia.

La recuperación de los enfermos es el proceso inverso a la aparición de contagios nuevos. Si el número de contagios nuevos mide la velocidad de crecimiento de una infección, la recuperación de los enfermos (el que dejen de ser infecciosos) es una medida del decrecimiento. Una epidemia seguirá creciendo siempre que el número de contagios por día sea mayor que el número de personas que se recuperan cada día; cuando esta última variable es mayor que la primera, la epidemia estará en fase de descenso.

Con esta regla básica en mente, podemos pensar en varias medidas que una autoridad sanitaria puede tomar para controlar el desarrollo de una epidemia. Esas medidas están encaminadas ya sea a reducir el número de contagios nuevos o a incrementar la velocidad de recuperación de los enfermos. El número de contagios se puede reducir de varias formas, pero la más obvia es a través de una disminución en el número de contactos entre personas infectadas y susceptibles. Las medidas de aislamiento de los enfermos y de las personas más susceptibles, de disminución de las actividades en grupos y de distanciamiento social son algunos ejemplos de este tipo de medidas.

Otro tipo de medidas para reducir el número de contagios se enfocan en la disminución de la probabilidad de contagio en caso de contacto entre las personas. En nuestro ejemplo imaginario de la Figura 2, si las personas comenzaran a usar guantes la velocidad de propagación de la enfermedad cutánea se reduciría considerablemente. De igual manera, el uso de cubrebocas durante epidemias como la que estamos viviendo este año es una medida fundamental para reducir su intensidad. También lo son las medidas de desinfección (la mal llamada sanitización) y el incremento de las acciones de higiene personal, como el lavado frecuente de manos, el uso de geles desinfectantes e incluso la sana alimentación; todas estas son medidas que reducen la probabilidad de contagiarse (y de contagiar a otros).

La velocidad a la que se recuperan las personas enfermas se puede incrementar por supuesto con atención médica adecuada. Hay que recordar, sin embargo, que la “recuperación” en los modelos se refiere al proceso por el cual una persona infectada deja de ser propagadora de la enfermedad. En algunos modelos, las personas que fallecen se cuentan como “recuperadas”, no por una inhumana frialdad sino porque en términos numéricos esas personas dejan de ser propagadores. De igual forma, si se logra que un porcentaje alto de los infectados quede aislado del resto de la población, el efecto es similar al de su “recuperación”. De ahí la importancia de la detección temprana y aislamiento de los enfermos.

Estos ejemplos muestran cómo aún los modelos matemáticos más sencillos pueden contribuir al entendimiento y al manejo de fenómenos naturales o sociales muy complejos, como lo son las epidemias. Regresemos ahora a nuestro ejemplo inicial de México e Italia para ver cómo se ven, a través de los modelos, los números de las epidemias de la vida real.

Las epidemias de la vida real en números

Los dos tipos de gráficas que generamos con los modelos se pueden usar para analizar las trayectorias de las epidemias de la vida real (Figura 4). La curva de la velocidad de crecimiento de la epidemia muestra para cada día el número de casos nuevos confirmados en esa fecha. La gráfica del crecimiento de la epidemia representa el número total de infectados a medida que se van acumulando durante la epidemia. Podemos visualizar ahora con mayor claridad las diferencias entre las epidemias en Italia y en México.

Figura 4.  TRAYECTORIA DE DOS EPIDEMIAS, la de Italia y la de México. En la gráfica superior la altura de cada columna representa el número de casos confirmados en ese día. La línea continua es un promedio semanal de los casos diarios e indica la trayectoria de la epidemia (es decir, si está creciendo o menguando). La gráfica inferior muestra la manera en la que se han ido acumulando los casos confirmados a lo largo de la pandemia. Los datos son los oficiales de cada país, compilados por el sitio Our World in Data (OWiD).

Las curvas de casos nuevos por día siguen para los dos países la trayectoria en forma de campana que predicen los modelos con saturación y con recuperación (los de la Figura 3). Es claro, sin embargo, que las dos epidemias han seguido patrones diferentes en tiempos diferentes. La curva en Italia alcanzó su máximo a finales de marzo, es decir, en poco más de un mes desde el inicio de la epidemia en ese país. A partir de mayo, esta curva está en descenso, pero ha tomado varios meses regresar al nivel de unos pocos casos nuevos por día y parece estar iniciándose un rebrote (un nuevo incremento en el número de casos diarios). En México la epidemia tardó cinco meses en alcanzar el máximo de casos nuevos por día y apenas inició a principios de agosto la fase de descenso, por lo que hasta ahora sólo podemos ver parcialmente la curva. Esto nos muestra que la epidemia en México va apenas a la mitad del camino y que faltan aún varios meses –y varios miles de casos nuevos— para acercarnos a un posible final.

La misma información se puede representar con la curva del número total de infectados. Las dos curvas siguen creciendo, porque se siguen acumulando casos, pero la de Italia lo hace ya muy lentamente, comparada con la de México, que a finales de agosto sigue creciendo velozmente. ¿Qué hace que las epidemias tengan tan diferentes trayectorias? No existe una sola razón. Es muy difícil estudiar las causas directas de un fenómeno complejo, natural o social, al mismo tiempo que está sucediendo, pero los futuros análisis seguramente mostrarán que las diferencias entre las epidemias en México e Italia se deben a múltiples factores, desde geográficos, climáticos, históricos, biológicos, sociales, médicos y de comportamiento. También es un hecho que las diferentes estrategias de monitoreo y contención deben haber tenido un efecto determinante en el desarrollo de las dos epidemias.

Cualquiera que sea el caso, constatamos que los fundamentos de los modelos, incluso los muy simplistas de las Figuras 2 y 3, nos pueden iluminar en la comprensión de fenómenos tan complejos como la pandemia de este año.

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